Radioactivité

On s'intéresse à l'évolution d'une population de noyaux radioactifs. Le temps \(t\) est exprimé en secondes.
Le nombre de noyaux présents à l'instant \(t\) est donné par \(N(t)=N_0\text{e}^{-\lambda t}\) où \(N_0\) est le nombre de noyaux radioactifs à \(t=0\) et \(\lambda\) est une constante positive caractéristique de la population étudiée, exprimée en \(\text{s}^{-1}\).

1. Étudier les variations de la fonction \(N\) sur \([0\ ;+\infty[\). Le résultat est-il surprenant ?
2. a. Déterminer la période de demi-vie, notée \(T\), de cette population de noyaux radioactifs, c'est-à-dire la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux initialement présents se soient désintégrés.
    b. Montrer que, pour tout réel \(t\geqslant 0\), on a \(N(t+T)=\dfrac{1}{2}N(t)\).
3. L'Agence nationale pour la gestion des déchets radioactifs (Andra) précise sur son site : « Au bout de \(10\) périodes radioactives, seul \(1\) atome radioactif sur \(1~000\) subsiste. » Justifier cette affirmation.